P-версия метода коллокации решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода в среде Mathematica
Шапеев В.П., Ворожцов Е.В.

Предложена и реализована p-версия метода коллокации численного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. В данной реализации осуществлены возможности варьирования степени полинома в полиномиальном представлении приближенного решения уравнений и варьирования количества узлов используемой квадратурной формулы Гаусса для влияния на точность решения. Исследовано влияние числа точек коллокации, использованных для аппроксимации решения, и количества узлов квадратурной формулы Гаусса на число обусловленности системы линейных алгебраических уравнений, к решению которой сводится построение приближенного решения, и на его точность путем численного решения примеров, в том числе приведенных в известных изданиях. Предложенный алгоритм реализован на языке программного пакета Mathematica. Во всех рассмотренных примерах предложенная версия метода коллокации позволила достичь точности решения уравнений, близкой к уровню машинных ошибок округления. Программный продукт, реализующий предложенную p-версию, получился достаточно компактным, а метод оказался экономичным: машинное время, необходимое для решения рассмотренных в работе задач, не превышало 3 секунды работы персонального компьютера. Описан алгоритм, позволяющий оценить точность приближенного решения по предложенной p-версии метода в тех случаях, когда точное решение интегрального уравнения неизвестно.

Ключевые слова: интегральное уравнение Фредгольма второго рода, метод коллокации, число обусловленности, квадратура Гаусса.

Название статьи, аннотация и ключевые слова на английском языке

  • Шапеев В.П. – Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск; главный науч. сотр., e-mail: Shapeev@itam.nsc.ru
    Новосибирский национальный исследовательский университет, механико-математический факультет, ул. Пирогова, 2, 630090, Новосибирск; профессор, e-mail: vshapeev@ngs.ru
  • Ворожцов Е.В. – Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск; ведущий науч. сотр., e-mail: vorozh@itam.nsc.ru