DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v19r435

Тензорные разложения для решения уравнений математических моделей агрегации, допускающих многочастичные столкновения

Авторы


Ключевые слова:

многочастичные уравнения Смолуховского
кинетика процессов агрегации
схема предиктор-корректор
малоранговые тензорные аппроксимации
дискретная свертка

Аннотация

Предложены эффективные методы численного решения задачи Коши для системы кинетических уравнений агрегации типа уравненийСмолуховского, допускающих множественные столкновения частиц. Разработанные методы основываются на представлении массивов кинетических коэффициентов в виде тензорных разложений. Выполнено сравнение канонического тензорного разложения, разложения Таккера и тензорного поезда (TT). Для каждого из рассматриваемых тензорных представлений получены оценки сложности выполнения шага разностной схемы Рунге-Кутты второго порядка. Для канонического и ТТ-разложений проведены численные эксперименты, демонстрирующие эффективность предложенных методов для систем, допускающих одновременные столкновения вплоть до пяти частиц.


Загрузки

Опубликован

24.12.2018

Выпуск

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Об авторах

Д.А. Стефонишин

С.А. Матвеев

Сколковский институт науки и технологий
Территория Инновационного Центра “Сколково”, Большой бульвар д.30, стр.1, 121205, Москва
• младший научный сотрудник

А.П. Смирнов

Е.Е. Тыртышников


Библиографические ссылки

  1. V. A. Galkin, Smoluchowski equation (Fizmatlit, Moscow, 2001) [in Russian].
  2. F. Leyvraz, “Scaling Theory and Exactly Solved Models in the Kinetics of Irreversible Aggregation,” Phys. Rep. 383 (2-3), 95-212 (2003).
  3. M. Smoluchowski, “Versuch Einer Mathematischen Theorie der Koagulationskinetik Kolloider Lösungen,” Z. Phys. Chem. 92, 129-168 (1918).
  4. P. L. Krapivsky, “Aggregation Processes with n-Particle Elementary Reactions,” J. Phys. A: Math. Gen. 24 (19), 4697-4703 (1991).
  5. P. L. Krapivsky, S. Redner, and E. Ben-Naim, A Kinetic View of Statistical Physics (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010).
  6. Y. Jiang and H. Gang, “Generalized Smoluchovski Equation with Gelation,” Phys. Rev. B: Condens. Matter 39 (7), 4659-4665 (1989).
  7. Z. A. Melzak, “A Scalar Transport Equation,” Trans. Am. Math. Soc. 1957. 85 (2), 547-560 (1957).
  8. S. A. Matveev, A. P. Smirnov, and E. E. Tyrtyshnikov, “A Fast Numerical Method for the Cauchy Problem for the Smoluchowski Equation,” J. Comput. Phys. 282, 23-32 (2015).
  9. F. E. Kruis, A. Maisels, and H. Fissan, “Direct Simulation Monte Carlo Method for Particle Coagulation and Aggregation,” AIChE J. 46 (9), 1735-1742 (2000).
  10. G. Palaniswaamy and S. K. Loyalka, “Direct Simulation Monte Carlo Aerosol Dynamics: Coagulation and Collisional Sampling,” Nucl. Technol. 156 (1), 29-38 (2006).
  11. S. A. Matveev, E. E. Tyrtyshnikov, A. P. Smirnov, and N. V. Brilliantov, “A Fast Numerical Method for Solving the Smoluchowski-Type Kinetic Equations of Aggregation and Fragmentation Processes,” Vychisl. Metody Programm. 15, 1-8 (2014).
  12. D. A. Stefonishin, S. A. Matveev, A. P. Smirnov, and E. E. Tyrtyshnikov, “An Efficient Finite-Difference Method for Solving Smoluchowski-Type Kinetic Equations of Aggregation with Three-Body Collisions,” Vychisl. Metody Programm. 19, 261-269 (2018).
  13. F. L. Hitchcock, “Multiple Invariants and Generalized Rank of a p-Way Matrix or Tensor,” J. Math. Phys. 7 (1), 39-79 (1927).
  14. R. A. Harshman, Foundations of the PARAFAC Procedure: Models and Conditions for an , “Explanatory’’ Multimodal Factor Analysis (Univ. of California at Los Angeles, Los Angeles, 1970).
  15. G. Beylkin and M. J. Mohlenkamp, “Algorithms for Numerical Analysis in High Dimensions,” SIAM J. Sci. Comput. 26 (6), 2133-2159 (2005).
  16. L. R. Tucker, “Some Mathematical Notes on Three-Mode Factor Analysis,” Psychometrika 31 (3), 279-311 (1966).
  17. L. de Lathauwer, B. de Moor, and J. Vandewalle, “A Multilinear Singular Value Decomposition,” SIAM J. Matrix Anal. Appl. 21 (4), 1253-1278 (2000).
  18. I. V. Oseledets and E. E. Tyrtyshnikov, “Breaking the Curse of Dimensionality, Or How to Use SVD in Many Dimensions,” SIAM J. Sci. Comput. 31 (5), 3744-3759 (2009).
  19. I. V. Oseledets, “Tensor-Train Decomposition,” SIAM J. Sci. Comput. 33 (5), 2295-2317 (2011).
  20. I. V. Oseledets and E. E. Tyrtyshnikov, “TT-Cross Approximation for Multidimensional Arrays,” Linear Algebra Appl. 432 (1), 70-88 (2010).
  21. E. E. Tyrtyshnikov, A Brief Introduction to Numerical Analysis (Birkh854user, Basel, 2012).
  22. G. Beylkin and L. Monzón, “On Approximation of Functions by Exponential Sums,” Appl. Comput. Harmon. Anal. 19 (1), 17-48 (2005).