DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v16r444

Итерационные методы решения обратных задач ультразвуковой томографии

Авторы

  • А.В. Гончарский
  • С.Ю. Романов

Ключевые слова:

коэффициентные обратные задачи
волновое уравнение
ультразвуковая томография
производная Фреше
итерационные методы

Аннотация

Статья посвящена строгому математическому обоснованию итерационных методов решения обратных задач ультразвуковой томографии. Обратные задачи ультразвуковой томографии рассматриваются в рамках скалярной модели волнового уравнения. Эта модель учитывает такие волновые эффекты, как дифракция, рефракция и др. Обратная задача рассматривается как коэффициентная обратная задача. На строгом математическом уровне получено представление для производной Фреше функционала невязки по скорости распространения волн с(r), которая характеризует неоднородную структуру объекта. Представление для производной Фреше получено как для двумерных задач, так и в трехмерном случае. Используя полученное представление для производной Фреше, авторы статьи предлагают для решения обратной задачи использовать градиентные методы минимизации функционала невязки. Предложенная в статье итерационная процедура допускает высокий уровень распараллеливания на суперкомпьютере.


Загрузки

Опубликован

21.08.2015

Выпуск

Раздел

Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Об авторах

А.В. Гончарский

С.Ю. Романов


Библиографические ссылки

  1. N. Duric, P. Littrup, C. Li, et al., “Breast Ultrasound Tomography: Bridging the Gap to Clinical Practice,” Proc. SPIE, Vol. 8320 (2012).
    doi 10.1117/12.910988
  2. N. Duric, P. Littrup, L. Poulo, et al., “Detection of Breast Cancer with Ultrasound Tomography: First Results with the Computed Ultrasound Risk Evaluation (CURE) Prototype,” Med. Phys. 34 (2), 773-785 (2007).
  3. R. Jirik, I. Peterlik, N. Ruiter, et al., “Sound-Speed Image Reconstruction in Sparse-Aperture 3-D Ultrasound Transmission Tomography,” IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control 59 (2), 254-264 (2012).
  4. H. Gemmeke, L. Berger, M. Birk, et al., “Hardware Setup for the Next Generation of 3D Ultrasound Computer Tomography,” IEEE Nucl. Sci. Symp. Conf. Rec. 2449-2454 (2010).
    doi 10.1109/NSSMIC.2010.5874228
  5. J. Wiskin, D. Borup, M. Andre, et al., “Three-Dimensional Nonlinear Inverse Scattering: Quantitative Transmission Algorithms, Refraction Corrected Reflection, Scanner Design, and Clinical Results,” J. Acoust. Soc. Am. 133 (2013).
    doi 10.1121/1.4805138
  6. J. Wiskin, D. T. Borup, S. A. Johnson, and M. Berggren, “Non-Linear Inverse Scattering: High Resolution Quantitative Breast Tissue Tomography,” J. Acoust. Soc. Am. 131 (5), 3802-3813 (2012).
  7. V. A. Burov, D. I. Zotov, and O. D. Rumyantseva, “Reconstruction of Spatial Distributions of Sound Velocity and Absorption in Soft Biological Tissues Using Model Ultrasonic Tomographic Data,” Akust. Zh. 60 (4), 443-456 (2014) [Acoust. Phys. 60 (4), 479-491 (2014)].
  8. V. A. Burov, D. I. Zotov, and O. D. Rumyantseva, “Reconstruction of the Sound Velocity and Absorption Spatial Distributions in Soft Biological Tissue Phantoms from Experimental Ultrasound Tomography Data,” Akust. Zh. 61 (2), 254-273 (2015) [Acoust. Phys. 61 (2), 231-248 (2015)].
  9. A. V. Goncharsky, S. Y. Romanov, and S. Y. Seryozhnikov, “Inverse Problems of 3D Ultrasonic Tomography with Complete and Incomplete Range Data,” Wave Motion 51 (3), 389-404 (2014).
  10. A. Bakushinsky and A. Goncharsky, Ill-Posed Problems. Theory and Applications (Kluwer, Dordrecht, 1994).
  11. A. V. Goncharskii, S. L. Ovchinnikov, and S. Yu. Romanov, “On the One Problem of Wave Diagnostic,” Vestn. Mosk. Univ., Ser. 15: Vychisl. Mat. Kibern., No. 1, 7-13 (2010) [Moscow Univ. Comput. Math. Cybernet. 34 (1), 1-7 (2010)].
  12. R. J. Lavarello and M. L. Oelze, “Tomographic Reconstruction of Three-Dimensional Volumes Using the Distorted Born Iterative Method,” IEEE Trans. Med. Imaging 28 (10), 1643-1653 (2009).
  13. A. V. Goncharskii and S. Yu. Romanov, “Two Approaches to the Solution of Coefficient Inverse Problems for Wave Equations,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 52 (2), 263-269 (2012) [Comput. Math. Math. Phys. 52 (2), 245-251 (2012)].
  14. S. L. Ovchinnikov and S. Yu. Romanov, “Organization of Parallel Computations When Solving the Inverse Problem of Wave Diagnostics,” Vychisl. Metody Programm. 9, 338-345 (2008).
  15. G. Chavent, “Deux Résultats sur le Problème Inverse dans les Équations aux Dérivées Partielles du Deuxième Ordre en t et sur l’Unicité de la Solution du Problème Inverse de la Diffusion,” C.R. Acad. Sc. Paris. 270, 25-28 (1970).
  16. F. Natterer, “Sonic Imaging,” in Handbook of Mathematical Methods in Imaging (Springer, New York, 2015), pp. 1253-1278.
  17. L. Beilina, M. V. Klibanov, and M. Yu. Kokurin, “Adaptivity with Relaxation for Ill-Posed Problems and Global Convergence for a Coefficient Inverse Problem,” J. Math. Sci. 167 (3), 279-325 (2010).
  18. A. V. Goncharsky and S. Y. Romanov, “Supercomputer Technologies in Inverse Problems of Ultrasound Tomography,” Inverse Probl. 29 (2013).
    doi 10.1088/0266-5611/29/7/075004
  19. A. V. Goncharsky and S. Y. Romanov, “Inverse Problems of Ultrasound Tomography in Models with Attenuation,” Phys. Med. Biol. 59 (8), 1979-2004 (2014).
  20. O. A. Ladyzhenskaya, The Boundary Value Problems of Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 1973; Springer, New York, 1985).
  21. O. A. Ladyzhenskaya, A Mixed Problem for Hyperbolic Equations (Gostekhizdat, Moscow, 1953) [in Russian].
  22. L. C. Evans, Partial Differential Equations (Am. Math. Soc. Press, Providence, 2008).
  23. F. Natterer, H. Sielschott, O. Dorn, et al., “Fréchet Derivatives for Some Bilinear Inverse Problems,” SIAM J. Appl. Math. 62 (6), 2092-2113 (2002).
  24. F. Natterer, “Possibilities and Limitations of Time Domain Wave Equation Imaging,” in Contemporary Mathematics (Am. Math. Soc. Press, Providence, 2011), Vol. 559, pp. 151-162.
  25. A. V. Goncharsky and S. Yu. Romanov, “On a Problem of Ultrasonic Tomography,” Vychisl. Metody Programm. 12, 317-320 (2011).
  26. A. V. Goncharsky and S. Yu. Romanov, “Supercomputer Technologies in the Development of Methods for Solving Inverse Problems in Ultrasound Tomography,” Vychisl. Metody Programm. 13, 235-238 (2012).
  27. A. V. Goncharsky, S. Yu. Romanov, and S. Yu. Seryozhnikov, “Problems of Limited-Data Wave Tomography,” Vychisl. Metody Programm. 15, 274-285 (2014).