DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v23r210

Численный метод решения нелокальных краевых задач для многомерного уравнения параболического типа

Авторы


Ключевые слова:

нелокальные краевые задачи
априорная оценка
уравнение параболического типа
разностные схемы
устойчивость и сходимость разностных схем

Аннотация

Работа посвящена нелокальным краевым задачам для многомерного уравнения параболического типа с переменными коэффициентами. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решений нелокальных краевых задач. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения каждой из рассмотренных задач по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи в \(L_2\)-норме со скоростью \(O(|h|+\tau)\). Для каждой из рассмотренных задач построен алгоритм численного решения, роведены численные расчеты тестовых примеров.


Загрузки

Опубликован

12.06.2022

Выпуск

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения

Об авторе

З. В. Бештокова

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН
ул. Шортанова, 89 а, 360000, Нальчик
• младший научный сотрудник


Библиографические ссылки

  1. A. A. Samarskii and P. N. Vabishchevich, Numerical Methods for Solving Convection-Diffusion Problems (Editorial, Moscow, 2004) [in Russian].
  2. A. M. Nakhushev, Equations of Mathematical Biology (Vysshaya Shkola, Moscow, 1995) [in Russian].
  3. T. Carleman, “Sur la Théorie des Équations Intégrales et ses Applications,” in Actes Verh. Internat. Math. Kongr., Zürich, Switzerland, September 5-12, 1932 (Orel Füssli, Zürich, 1933), Vol. 1, pp. 138-151.
  4. J. R. Canon, “The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy,” Quart. Appl. Math. 21 (2), 155-160 (1963).
    doi 10.1090/qam/160437.
  5. L. I. Kamynin, “ A Boundary Value Problem in the Theory of Heat Conduction with a Nonclassical Boundary Condition,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 4 (6), 1006-1024 (1964). [USSR Comput. Math. Math. Phys. 4 (6), 33-59 (1964)].
    doi 10.1016/0041-5553(64)90080-1.
  6. A. F. Chudnovsky, “Some Corrections in the Formulation and Solution of Problems of Heat and Moisture Transfer in Soil,” Proc. Agrophysical Inst. Issue 23, 41-54 (1969).
  7. V. A. Steklov, Fundamental Problems in Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 1983) [in Russian].
  8. A. A. Samarskii, “Some Problems in the Theory of Differential Equations,” Differ. Uravn. 16 (11), 1925-1935 (1980).
    http://mi.mathnet.ru/de4116 . Cited May 30, 2022.
  9. A. I. Kozhanov, “On a Nonlocal Boundary Value Problem with Variable Coefficients for the Heat Equation and the Aller Equation,” Differ. Uravn. 40 (6), 763-774 (2004)[Differ. Equ. 40 (6), 815-826 (2004)].
    http://mi.mathnet.ru/de11086 . Cited May 30, 2022.
  10. A. I. Kozhanov and L. S. Pulkina, “On the Solvability of Boundary Value Problems with a Nonlocal Boundary Condition of Integral Form for Multidimensional Hyperbolic Equations,” Differ. Uravn. 42 (9), 1166-1179 (2006)[Differ. Equ., 42 (9), 1233-1246 (2006).]
    http://mi.mathnet.ru/de11554 . Cited May 30, 2022.
  11. L. S. Pulkina, “Solvability in L_2 of a Nonlocal Problem with Integral Conditions for a Hyperbolic Equation,” Differ. Uravn. 36 (2), 279-280 (2000)[Differ. Equ. 36 (2), 316-318 (2000)].
    http://mi.mathnet.ru/de10101 . Cited May 30, 2022.
  12. O. Yu. Danilkina, “On One Nonlocal Problem for the Heat Equation with an Integral Condition,” Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki. 1 (14), 5-9 (2007).
  13. R. K. Tagiev and V. M. Gabibov, “Difference Approximation and Regularization of the Optimal Control Problem for a Parabolic Equation with an Integral Condition,” Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh. No 50, 30-44 (2017).
    http://mi.mathnet.ru/vtgu616 . Cited May 30, 2022.
  14. E. A. Kritskaya and V. V. Smagin, “On the Weak Solvability of a Parabolic Variational Problem with an Integral Condition,” Vestn. Voronezh. State Univ. Ser. Phys. Math. No 1, 222-225 (2008).
    http://www.vestnik.vsu.ru/pdf/physmath/2008/01/kritzkaya.pdf . Cited May 30, 2022.
  15. L. S. Pul’kina and A. E. Savenkova, “A Problem with a Nonlocal, with Respect to Time, Condition for Multidimensional Hyperbolic Equations,” Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., No. 10, 41-52 (2016) [Russ. Math. 60 (10), 33-43 (2016)].
    doi 10.3103/S1066369X16100066.
  16. N. S. Popov, “On the Solvability of Boundary Value Problems for Multidimensional Parabolic Equations of Fourth Order with Nonlocal Boundary Condition of Integral Form,” Math. Notes of NEFU 23 (1), 79-86 (2016).
    http://www.mathnet.ru/links/eb7d3c7cb0c7de0a204012cbff688616/svfu17.pdf . Cited May 30, 2022.
  17. A. K. Urinov and Sh. T. Nishonova, “A Problem with Integral Conditions for an Elliptic-Parabolic Equation,” Mat. Zametki 102 (1), 81-95 (2017) [Math. Notes 102 (1), 68-80 (2017)].
    doi 10.4213/mzm10674.
  18. D. H. Q. Nam, D. Baleanu, N. H. Luc, and N. H. Can, “On a Kirchhoff Diffusion Equation with Integral Condition,” Adv. Differ. Equ. 2020, No 1 (2020).
    doi 10.1186/s13662-020-03077-y.
  19. V. B. Dmitriev, “Boundary Value Problem with a Nonlocal Boundary Condition of Integral Form for a Multidimensional Equation of IV Order,” Vestnik SamU. Estestvenno-Nauchnaya Ser. 27 (1), 15-28 (2021).
    doi 10.18287/2541-7525-2021-27-1-15-28.
  20. O. A. Ladyzhenskaya, Boundary Value Problems of Mathematical Physics (Nauka, Moscow, 1973; Springer, New York, 1985).
  21. A. A. Samarskii, Theory of Difference Schemes (Nauka, Moscow, 1983; Marcel Dekker, New York, 2001).
  22. V. B. Andreev, “On the Convergence of Difference Schemes Approximating the Second and Third Boundary Value Problems for Elliptic Equations,” Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 8 (6), 1218-1231 (1968).[USSR Comput. Math. Math. Phys. 8 (6), 44-62 (1968)].
    doi 10.1016/0041-5553(68)90092-X.
  23. A. A. Samarsky and A. V. Gulin, Stability of Difference Schemes (Nauka, Moscow, 1973) [in Russian].
  24. D. K. Faddeev and V. N. Faddeeva, Computational Methods of Linear Algebra (Fizmatgiz, Moscow, 1960; Freeman, San Francisco, 1963).
  25. A. A. Abramov and V. B. Andreev, “On the Application of the Method of Successive Substitution to the Determination of Periodic Solutions of Differential and Difference Equations,”
    http://mi.mathnet.ru/zvmmf7856].Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 3 (2), 377-381 (1963).[USSR Comput. Math. Math. Phys. 3 (2), 498-504 (1963)].
    doi 10.1016/0041-5553(63)90034-X.
  26. A. A. Samarskii and E. S. Nikolaev, Numerical Methods for Grid Equations (Nauka, Moscow, 1978; Birkhäuser, Basel, 1989).
  27. A. F. Voevodin and S. M. Shugrin, Numerical Methods for One-Dimensional Systems (Nauka, Novosibirsk, 1981) [in Russian].