DOI: https://doi.org/10.26089/NumMet.v23r101

Деформация томограмм для задач двумерной криволинейной томографии

Авторы


Ключевые слова:

обратные задачи
преобразование Радона
веерная томография
криволинейная томография
математическое моделирование

Аннотация

Ранее в наших работах было предложено в задачах веерной томографии применять методы перевода пучка веерных лучей в набор параллельных лучей. Это достигалось специальной деформацией искомой томограммы на этапе обратного проецирования измеренных и отфильтрованных проекций, с последующей операцией обратной деформации. Деформация томограммы для каждого направления наблюдения будет своя, но взаимно-однозначный характер этих деформаций позволяет вернуться к исходной системе координат. В данной работе этот метод обобщен на семейство плоских криволинейных траекторий, позволяющих взаимно-однозначные переходы к параллельным лучам. Для каждой обратной проекции изображение оказывается промодулировано известной функцией, следующей из уравнения дифференциала пути заданной траектории. Результаты обобщения широко распространенного в методах двумерной томографии алгоритма FBP демонстрируются на примерах параболической, синусоидальной и веерной траекторий лучей.


Загрузки

Опубликован

31.01.2022

Выпуск

Раздел

Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения

Об авторе

В. В. Пикалов

Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН (ИТПМ СО РАН),
ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск
• доцент, главный научный сотрудник


Библиографические ссылки

  1. F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (Teubner, Stuttgart, 1986; Mir, Moscow, 1990).
  2. S. Helgason, The Radon Transform (Birkhäuser, Boston, 1980; Mir, Moscow, 1983).
  3. S. R. Deans, The Radon Transform and Some of Its Applications (Wiley, New York, 1983).
  4. G. Ambartsoumian and P. Kuchment, “A Range Description for the Planar Circular Radon Transform,” SIAM J. Math. Anal. 38 (2), 681-692 (2006).
    doi 10.1137/050637492
  5. M. Eller, P. Hoskins, and L. Kunyansky, “Microlocally Accurate Solution of the Inverse Source Problem of Thermoacoustic Tomography,” Inverse Probl. 36 (8) (2020).
    doi 10.1088/1361-6420/ab9c46
  6. V. V. Nikitin, F. Andersson, M. Carlsson, and A. A. Duchkov, “Fast Hyperbolic Radon Transform Represented as Convolutions in Log-Polar Coordinates,” Comput. Geosci. 105, 21-33 (2017).
    doi 10.1016/j.cageo.2017.04.013
  7. J. Tasinkevych and I. Trots, “Circular Radon Transform Inversion Technique in Synthetic Aperture Ultrasound Imaging: An Ultrasound Phantom Evaluation,” Arch. Acoust. 39 (4), 569-582 (2014).
    doi 10.2478/aoa-2014-0061
  8. S. Moon and J. Heo, “Inversion of the Elliptical Radon Transform Arising in Migration Imaging Using the Regular Radon Transform,” J. Math. Anal. Appl. 436 (1), 138-148 (2016).
    doi 10.1016/j.jmaa.2015.11.043
  9. S. Moon, “Inversion of the Seismic Parabolic Radon Transform and the Seismic Hyperbolic Radon Transform,” Inverse Probl. Sci. Eng. 24 (2), 317-327 (2016).
    doi 10.1080/17415977.2015.1025071
  10. F. Monard, “Functional Relations, Sharp Mapping Properties, and Regularization of the X-Ray Transform on Disks of Constant Curvature,” SIAM J. Math. Anal. 52 (6), 5675-5702 (2020).
    doi 10.1137/20M1311508
  11. C. Grathwohl, P. Kunstmann, E. T. Quinto, and A. Rieder, “Microlocal Analysis of Imaging Operators for Effective Common Offset Seismic Reconstruction,” Inverse Probl. 34 (11) (2018).
    doi 10.1088/1361-6420/aadc2a
  12. C. Tarpau, J. Cebeiro, M. K. Nguyen, et al., “Analytic Inversion of a Radon Transform on Double Circular Arcs with Applications in Compton Scattering Tomography,” IEEE Trans. Comput. Imaging 6, 958-967 (2020).
    doi 10.1109/TCI.2020.2999672
  13. V. V. Pickalov, D. I. Kazantzev, and V. P. Golubyatnikov, “The Central Slice Theorem Generalization for a Fan-Beam Tomography,” Vychisl. Metody Programm. 7, № 2. 180-184 (2006).
    https://en.num-meth.ru/index.php/journal/article/view/206.
  14. V. V. Pickalov and D. I. Kazantzev, “Iterative Restoration of Radon-Space Sinogram Disturbances for the Steganography Problem,” Vychisl. Metody Programm. 9, № 1. 1-9 (2008).
    https://en.num-meth.ru/index.php/journal/article/view/289.
  15. D. Kazantsev and V. Pickalov, “New Iterative Reconstruction Methods for Fan-Beam Tomography,” Inverse Probl. Sci. Eng. 26 (6), 773-791 (2017).
    doi 10.1080/17415977.2017.1340946
  16. A. C. Kak and M. Slaney, Principles of Computerized Tomographic Imaging (IEEE Press, New York, 1988).
  17. B. K. Vainshtein, “Three-Dimensional Electron Microscopy of Biological Macromolecules,” Usp. Fiz. Nauk 109 (3), 455-497 (1973) [Sov. Phys. Usp. 16 (2), 185-206 (1973)].
    doi 10.1070/PU1973v016n02ABEH005164
  18. E. I. Vainberg, I. A. Kazak, and M. L. Faingoiz, “X-Ray Computerized Back Projection Tomography with Filtration by Double Differentiation. Procedure and Information Features,” Defektoskopiya, No. 2, 31-39 (1985) [Sov. J. Nondestruct. Test. 21 (2), 106-113 (1985)].
  19. A. Faridani, D. V. Finch, E. L. Ritman, and K. T. Smith, “Local Tomography II”, SIAM J. Appl. Math. 57 (4), 1095-1127 (1997).
    doi 10.1137/S0036139995286357
  20. I. Yu. Kulakov, D. A. Vologin, and V. V. Pickalov, “A Multigrid Algorithm for the Fan-Beam ROI-Tomography of Contrast Objects,” Vychisl. Metody Programm. 14 (4), 543-548 (2013).
    https://en.num-meth.ru/index.php/journal/article/view/665.
  21. E. Yu. Derevtsov and V. V. Pickalov, “Reconstruction of Vector Fields and Their Singularities from Ray Transforms,” Sib. Zh. Vych. Mat. 14 (1), 29-46 (2011) [Numer. Anal. Appl. 4 (1), 21-35 (2011).]
    doi 10.1134/S1995423911010034
  22. J. W. Webber, E. T. Quinto, and E. L. Miller, “A Joint Reconstruction and Lambda Tomography Regularization Technique for Energy-Resolved X-Ray Imaging,” Inverse Probl. 36 (7) (2020).
    doi 10.1088/1361-6420/ab8f82
  23. V. V. Pickalov, “Tomography Problems for Media with Low Refraction,” AIP Conf. Proc. 2288 (1) (2020).
    doi 10.1063/5.0028741
  24. V. V. Pickalov, “Approximate Filtered Back-Projection Algorithm for Plane Curves in Tomography Problems,” J. Phys. Conf. Ser. 1715 (1) (2021).
    doi 10.1088/1742-6596/1715/1/012039