Использование методов асимптотического анализа при решении одной коэффициентной обратной задачи для системы нелинейных сингулярно возмущенных уравнений типа реакция-диффузия с кубической нелинейностью

  • Д.В. Лукьяненко Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова https://orcid.org/0000-0001-5140-3617
  • А.А. Мельникова Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Ключевые слова:

сингулярно возмущенная задача, внутренние и пограничные слои, уравнение типа реакция-диффузия, обратная задача с данными о положении внутреннего слоя.

Аннотация

Продемонстрированы возможности методов асимптотического анализа в применении к решению коэффициентной обратной задачи для системы нелинейных сингулярно возмущенных уравнений типа реакция-диффузия с кубической нелинейностью. Рассматриваемая в статье задача для системы уравнений в частных производных сводится к гораздо более простой для численного исследования системе алгебраических уравнений, которая связывает данные обратной задачи (информацию о положении фронта реакции во времени) с коэффициентом, который необходимо восстановить. Численные эксперименты подтверждают эффективность предложенного подхода.

Об авторах

А.А. Мельникова,

Литература

  1. Meinhardt H. Models of biological pattern formation. London: Academic Press, 1982.
  2. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical model of nerve membrane // Biophys. J. 1961. Vol. 1, N 6. 445-466.
  3. Aliev R.R., Panfilov A.V. A simple two-variable model of cardiac excitation // Chaos, Solitons and Fractals. 1996. Vol. 7, N 3. 293-301.
  4. Ham Y.M. Internal layer oscillations in FitzHugh-Nagumo equation // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1999. Vol. 103, N 2. 287-295.
  5. Hagberg A., Meron E. Pattern formation in non-gradient reaction-diffusion systems: the effects of front bifurcations // Nonlinearity. 1994. Vol. 7, N 3. 805-835.
  6. Wu S.-L., Zhao H.-Q. Traveling fronts for a delayed reaction-diffusion system with a quiescent stage // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2011. Vol. 16, N 9. 3610-3621.
  7. Larralde H., Araujo M., Havlin S., Stanley H.E. Diffusion-reaction kinetics for A+B(static)->C(inert) for one-dimensional systems with initially separated reactants // Physical Review A. 1992. Vol. 46, N 10. R6121-R6123.
  8. Kessler D.A., Levine H. Fluctuation-induced diffusive instabilities // Nature. 1998. Vol. 394, N 6693. 556-558.
  9. Prum R.O., Williamson S. Reaction-diffusion models of within-feather pigmentation patterning // Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences. 2002. Vol. 269, N 1493. 781-792.
  10. Lukyanenko D.V., Shishlenin M.A., Volkov V.T. Solving of the coefficient inverse problems for a nonlinear singularly perturbed reaction-diffusion-advection equation with the final time data // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. Vol. 54. 233-247.
  11. Лукьяненко Д.В., Волков В.Т., Нефедов Н.Н. Построение динамически адаптированной сетки для эффективного численного решения сингулярно возмущенного уравнения типа реакция-адвекция-диффузия // Моделирование и анализ информационных систем. 2017. 24, № 3. 322-338.
  12. Lukyanenko D., Nefedov N., Nikulin E., Volkov V. Use of asymptotics for new dynamic adapted mesh construction for periodic solutions with an interior layer of reaction-diffusion-advection equations // Lecture Notes in Computer Science. Vol. 10187. Heidelberg: Springer, 2017. 107-118.
  13. Melnikova A., Levashova N., Lukyanenko D. Front dynamics in an activator-inhibitor system of equations // Lecture Notes in Computer Science. Vol. 10187. Heidelberg: Springer, 2017. 492-499.
  14. Волков В.Т., Лукьяненко Д.В., Нефедов Н.Н. Аналитико-численный подход для описания периодических по времени движущихся фронтов в сингулярно возмущенных моделях реакция-диффузия-адвекция // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. 59, № 1. 50-62.
  15. Lukyanenko D.V., Shishlenin M.A., Volkov V.T. Asymptotic analysis of solving an inverse boundary value problem for a nonlinear singularly perturbed time-periodic reaction-diffusion-advection equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2019. Vol. 27. doi 10.1515/jiip-2017-0074.
  16. Lukyanenko D.V., Grigorev V.B., Volkov V.T., Shishlenin M.A. Solving of the coefficient inverse problem for a nonlinear singularly perturbed two-dimensional reaction-diffusion equation with the location of moving front data // Computers and Mathematics with Applications. 2019. Vol. 77, N 5. 1245-1254.
  17. Kabanikhin S.I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2008. Vol. 16, N 4. 317-357.
  18. Belishev M.I., Kuryiev Y.V. Boundary control, wave field continuation and inverse problems for the wave-equation // Computers and Mathematics with Applications. 1991. Vol. 22, N 4-5. 27-52.
  19. Belishev M.I., Kuryiev Y.V. To the reconstruction of a Riemannian manifold via its spectral data (BC-method) // Communications in Partial Differential Equations. 1992. Vol. 17, N 5-6. 767-804.
  20. Belishev M.I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC method) // Inverse Problems. 1997. Vol. 13, N 5. R1-R45.
  21. Beilina L., Klibanov M.V. A globally convergent numerical method for a coefficient inverse problem // SIAM Journal on Scientific Computing. 2008. Vol. 31, N 1. 478-509.
  22. Pantong N., Su J., Shan H., Klibanov M.V., Liu H.L. Globally accelerated reconstruction algorithm for diffusion tomography with continuous-wave source in an arbitrary convex shape domain // Journal of the Optical Society of America A Optics Image Science and Vision. 2009. Vol. 26, N 3. 456-472.
  23. Klibanov M.V., Fiddy M.A., Beilina L., Pantong N., Schenk J. Picosecond scale experimental verification of a globally convergent algorithm for a coefficient inverse problem // Inverse Problems. 2010. Vol. 26, N 4. doi 10.1088/0266-5611/26/4/045003.
  24. Thanh N.T., Beilina L., Klibanov M.V., Fiddy M.A. Imaging of buried objects from experimental backscattering time-dependent measurements using a globally convergent inverse algorithm // SIAM J. Imaging Sciences. 2015. Vol. 8, N 1. 757-786.
  25. Klibanov M.V., Koshev N.A., Li J., Yagola A.G. Numerical solution of an ill-posed Cauchy problem for a quasilinear parabolic equation using a Carleman weight function // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2016. Vol. 24, N 6. 761-776.
  26. Klibanov M.V., Yagola A.G. Convergent numerical methods for parabolic equations with reversed time via a new Carleman estimate // Inverse Problems (in press). 2019. doi 10.1088/1361-6420/ab2777
  27. Kabanikhin S.I., Shishlenin M.A. Boundary control and Gelfand-Levitan-Krein methods in inverse acoustic problem // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2004. Vol. 12, N 2. 125-144.
  28. Kabanikhin S.I., Shishlenin M.A. Numerical algorithm for two-dimensional inverse acoustic problem based on Gelfand-Levitan-Krein equation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. Vol. 18, N 9. 979-995.
  29. Kabanikhin S.I., Novikov N.S., Oseledets I.V., Shishlenin M.A. Fast Toeplitz linear system inversion for solving two-dimensional acoustic inverse problem // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2015. Vol. 23, N 6. 687-700.
  30. Kabanikhin S.I., Shishlenin M.A. Two-Dimensional Analogs of the Equations of Gelfand, Levitan, Krein, and Marchenko // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. 2015. Vol. 3, N 2. 70-99.
  31. Kabanikhin S.I., Sabelfeld K.K., Novikov N.S., Shishlenin M.A. Numerical solution of an inverse problem of coefficient recovering for a wave equation by a stochastic projection methods // Monte Carlo Methods and Applications. 2015. Vol. 21, N 3. 189-203.
  32. Kabanikhin S.I., Sabelfeld K.K., Novikov N.S., Shishlenin M.A. Numerical solution of the multidimensional Gelfand-Levitan equation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2015. Vol. 23, N 5. 439-450.
  33. Kabanikhin S.I., Shishlenin M.A. Comparative analysis of boundary control and Gelfand-Levitan methods of solving inverse acoustic problem // Inverse Problems in Engineering Mechanics IV. Amsterdam: Elsevier, 2003. 503-512.
  34. Левашова Н.Т., Мельникова А.А.~ Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 2015. 51, № 3. 339-358.
  35. Мельникова А.А., Чэнь М. Существование и асимптотическое представление автоволнового решения системы уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. 58, № 5, 705-715.
  36. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. M.: Высшая школа, 1990.
  37. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады Академии наук СССР. 1959. 127, № 1. 31-33.
  38. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады Академии наук СССР. 1963. 153, № 1. 49-52.
  39. Vasin V.V., Ageev A.L. Ill-posed problems with a priori information. Utrecht: VSP, 1995.
  40. Tikhonov A.N., Goncharsky A.V., Stepanov V.V., Yagola A.G. Numerical methods for the solution of ill-posed problems. Dordrecht: Kluwer, 1995.
  41. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. 6, № 1. 170-175.
  42. Сидорова А.Э., Левашова Н.Т., Мельникова А.А., Дерюгина Н.Н., Семина А.Е. Автоволновая самоорганизация в неоднородных природно-антропогенных экосистемах // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2016. № 5. 107-113.
  43. Левашова Н.Т., Мельникова А.А., Лукьяненко Д.В., Сидорова А.Э., Быцюра С.В. Моделирование урбоэкосистем как процессов самоорганизации // Математическое моделирование. 2017. 29, № 11. 40-52.
  44. Yagola A.G., Leonov A.S., Titarenko V.N. Data errors and an error estimation for ill-posed problems // Inverse Problems in Engineering. 2002. Vol. 10, N 2. 117-129.
  45. Дорофеев К.Ю., Титаренко В.Н., Ягола А.Г. Алгоритмы построения апостериорных погрешностей решения для некорректных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. 43, № 1. 12-25.
  46. Titarenko V., Yagola A. Error estimation for ill-posed problems on piecewise convex functions and sourcewise represented sets // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2008. Vol. 16, N 6. 625-638.
  47. Yagola A.G., Korolev Y.M. Error estimation in ill-posed problems in special cases // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. Vol. 48. New York: Springer, 2013. 155-164.
  48. Leonov A.S. Which of inverse problems can have a priori approximate solution accuracy estimates comparable in order with the data accuracy // Numerical Analysis and Applications. 2014. Vol. 7, N 4. 284-292.
  49. Leonov A.S. A posteriori accuracy estimations of solutions to ill-posed inverse problems and extra-optimal regularizing algorithms for their solution // Numerical Analysis and Applications. 2012. Vol. 5, N 1. 68-83.
Опубликован
2019-10-29
Как цитировать
Лукьяненко Д.В., Мельникова А.А. Использование методов асимптотического анализа при решении одной коэффициентной обратной задачи для системы нелинейных сингулярно возмущенных уравнений типа реакция-диффузия с кубической нелинейностью // Вычислительные методы и программирование. 2019. 20. 363-377. doi 10.26089/NumMet.v20r432
Раздел 1. Вычислительные методы и приложения

Наиболее читаемые статьи этого автора (авторов)